Libro: Topological Crystallography: With A View Towards Disc

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Libro: Topological Crystallography: With a View Towards Disc

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Se dice que la geometría en la Grecia se debe a la curiosidad de los matemáticos por las formas de los cristales, y esa curiosidad culminó en la clasificación de los poliedros convexos regulares abordados en el volumen final de los Elementos de Euclides. Desde entonces, la geometría ha tomado su propio camino y el estudio de los cristales no ha sido un tema central en las matemáticas, a excepción del trabajo de Kepler sobre los copos de nieve. Solo en el XIX las matemáticas comenzaron a desempeñar un papel en la cristalografía como la teoría de grupos llegó a serlo en la morfología de los cristales.
Esta monografía la tradición griega de buscar formas bellas como los poliedros convexos regulares. El objetivo principal es transmitir al lector cómo se usa efectivamente la topología algebraica para explorar el rico mundo de las estructuras cristalinas. La teoría de grafos, la teoría de la homología y la teoría de los mapas de cobertura se emplean para introducir la noción del cristal topológico que retiene, en abstracto, toda la información sobre la conectividad de los átomos en el cristal. Por ello se ha elegido el título Cristalografía topológica.
Los cristales topológicos se pueden describir como que viven en el mundo lógico, no en el espacio, lo que lleva a la pregunta de cómo colocarlos o realizarlos canónicamente en el espacio. Aquí se propone la noción de realizaciones estándar de cristales topológicos en el espacio, incluyendo como ejemplos típicos las estructuras cristalinas de diamante y lonsdaleita. También se proporciona una vista matemática de las realizaciones estándar relacionándolas con comportamientos asintóticos de caminatas aleatorias y mapas armónicos. Además, se puede ver que un análogo discreto de la geometría algebraica está vinculado al estándar de las discusiones en este volumen que incluyen no solo una enumeración sistemática de estructuras cristalinas, un área de considerable interés científico durante muchos años, sino también la arquitectura de estructuras. . El lector, por lo tanto, puede ver el acuerdo de la teoría y la práctica.



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